Denna sida finns också på svenska. Om du vill se den versionen ställ in din bläddrare så att den föredrar svenska framför engelska eller klicka på flaggan.

This page is also available in English. If you want to look at the English version set your browser to prefer English before Swedish or just click the flag.

Bilden du just klickade på är en bild av det reella projektiva planet. Enklast kan detta beskrivas som att man klistrar ihop ett Möbiusband och en skiva längs deras gemensamma rand. Det är lätt, åtminstone efter en stunds funderande, att inse att denna kan inte kan placeras i det 3-dimensionella rummet utan att den skär sig själv. Vad bilden visar är en presentation i 3 dimensioner där skärningarna har gjorts så enkla som möjligt. Vill man titta närmare på hur detta går till rekommenderas följande bild.

The picture you just clicked on is a picture of the real projective plane. In simple terms it can be described as the result of gluing together a disc and a Möbius strip along their common boundary. It seems plausible, at least after some thought, that it can not be embedded in 3-dimensional space. What the picture shows is a presentation in 3 dimensions where the necessary intersections has been made as simple as possible. A closer view of these intersections is given in this picture.

För att förstå bilden bättre är det en fördel att tänka på det projektiva planet på ett annat sätt, nämligen som enhetssfären i det 3-dimensionella rummet med antipodiska punkter identifierad dvs (x,y,z) ska identifieras med (-x,-y,-z). Varje punkt är ekvivalent med en punkt i den övre hemisfären. Denna kan projiceras ner på enhetsskivan i planet och de enda punkterna som då ska identifieras är de antipodiska punkterna på enhetscirkeln vilket ger något som ser ut som följer.

To understand the picture better it is advantageous to think of the projective plane in another way, namely as the unit sphere i 3-dimensional space with antipodal points identified, i.e., (x,y,z) is identified with (-x,-y,-z). Each point is equivalent to a point in the upper hemisphere and it can be projected onto the unit disc in the plane. Then the only points that are identified are the antipodal points on the unit circle. This gives something looking as follows.

Lite eftertanke gör nu klart att om man skär ut en mindre koncentrisk skiva så blir det som är kvar ett Möbiusband så att figuren fås just genom att klistra ihop en skiva och ett Möbiusband.

Some thought now makes it clear that if one cuts out a smaller concentric disc the remainder is a Möbius strip. Hence the figure is indeed obtained by gluing together a disc and a Möbius strip.

Vi kan nu avbilda enhetssfären till det 6-dimensionella rummet genom att ta (x,y,z) till (x²,y²,z²,xy,xz,yz). Antipodiska punkter avbildas uppenbarligen på samma punkt och det är lätt att se två icke-antipodiska punkter avbildas på olika punkter så att vi får en inbäddning av det projektiva i det 6-dimensionalla rummet (det är för övrigt klart att bilden ligger i ett äkta affint delrum, summan av de tre första koordinaterna är 1).

We may now map the unit sphere to 6-dimensional space by taking (x,y,z) to (x²,y²,z²,xy,xz,yz). Antipodal points evidently map to the same point and it is easy to see that non-antipodal points map to distinct points, thus the map gives an embedding of the projective plane into 6-dimensional space (it is incidentally also clear that the image lies in a proper affine subspace, the sum of the first three coordinates equals 1).

Det projektiva planet avbildas sedan in i det 3-dimensionella rummet genom att slumpmässigt välja en ortogonal projektion från det 6-dimensionella till det 3-dimensionella rummet.

The projective plane is then mapped into 3-dimensional space by choosing a random orthogonal projection from 6-dimensional space to 3-dimensional.